Podczas "starych" matur nie wolno było korzystać z kalkulatorów i tablic matematycznych.
Tylko głowa...

Każdy kto chciał otrzymać Świadectwo Dojrzałości musiał zdać m.in. maturę z matematyki.

Matura z matematyki 1976:

1. W kulę o promieniu R wpisano walec o możliwie największej objętości. Wyznaczyć stosunek objętości kuli do objętości tego walca.

2. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|, długość podstawy AB równa się c i miara kąta CAB równa się \alpha. Na bokach BC tego trójkąta obrano odpowiednio takie punkty M i N, że MN||AB i |AM| + |BN| = |MN|. Obliczyć długość odcinka MN i zbadać, dla jakiej wartości \alpha spełniony jest warunek MN= \frac{2}{3} c.

3. Dane jest równanie z niewiadomą x: (cos\alpha + 1)x^2-(2 \sqrt{2} cos\alpha)x + 1 = 0, gdzie 0 < \alpha <\pi. Dla jakich wartości \alpha równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste o jednakowych znakach?

4. Na egzamin przygotowano zestaw 45 pytań, z których zdający losuje 4. Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą za poprawną odpowiedź na 4 pytania; ocenę dobrą za poprawną odpowiedź na 3 pytania; a ocenę dostateczną za poprawną odpowiedź na 2 pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania oceny bardzo dobrej, a jakie oceny co najmniej dostatecznej, jeśli uczeń umie odpowiedzieć na \frac{2}{3} pytań z zestawu?

5. Dany jest zbiór trójkątów o wspólnym wierzchołku A(0,6). Boki tych trójkątów przeciwległe wierzchołkowi A zawierają się w prostej o równaniu y + 2 = 0 i każdy z nich ma długość 4. Napisać równanie krzywej, która jest zbiorem środków okręgów opisanych na tych trójkątach.

Matura z matematyki 1980:

1. Zbadaj przebieg zmienności funkcji y =e^{ \frac{1}{x^2-1} } i naszkicuj jej wykres.

2. Określ równaniem zbiór środków wszystkich okręgów stycznych zewnętrznie do okręgu wpisanego w trójkąt o wierzchołkach (3,0), (0,- \sqrt{3}), (0, \sqrt{3}) oraz stycznych do osi OY. Podaj geometryczną interpretację rozwiązania.

3 Rozwiąż równanie:
\frac{1- sin x + sin^2 x - sin^3 x + ... + (-1)^n sin^n x + ... }{1 + sinx + sin^2x + sin^3x+ ... + sin^nx + ...}=tg^2x

4. Na płaszczyźnie danych jest siedem punktów, z których żadne trzv są współliniowe. Kreślimy trzy różne odcinki o końcach w tych punktach. Zakładając, że wszystkie rezultaty są jednakowo prawdopodobne oblicz prawdopodobieństwo tego, że wykreślone trzy odcinki utworzą trójkąt.

5. W trapezie ABCD krótsza podstawa DC ma długość b, zaś podstawa AB długość a. Na przedłużeniu podstawy DC zaznaczono punkt X taki, że prosta AX dzieli trapez na części o równych polach. Oblicz |CX|.

Matura z matematyki 1981:

1. W kulę o promieniu R wpisano graniastosłup prawidłowy trójkątny. Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję długości krawędzi jego podstawy i zbadaj przebieg zmienności tej funkcji.

2. Z urny, w której znajduje się sześćset jednakowych kartek ponumerowanych od 1 do 600, losujemy kolejno bez zwracania dwie kartki. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że numery obydwu wylosowanych kartek są podzielne przez 7.

3. Rozwiąż nierówność: \frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2}+...+ \frac{1}{(x+1)^n}+...<3x-2

4. Bok kwadratu zawarty jest w prostej o równaniu y-3x+1 = 0. Środek symetrii tego kwadratu ma współrzędne (4,1). Wyznacz równania prostych zawierających pozostałe boki tego kwadratu.

5. W trapezie ABCD, o dłuższej podstawie AB, proste zawierające boki nierównoległe AD i BC są prostopadłe, zaś miary kątów DAC i ABC i równe. Oblicz pole tego trapezu, mając dane |AD| = a i \sphericalangle ABC=\alpha.

Matura z matermatyki 1985:

1. W półkole o promieniu R wpisano prostokąt tak, że jeden z boków prostokąta zawiera się w średnicy półkola. Wyraź pole tego prostokąta jako funkcję długości boku prostopadłego do średnicy półkola. Naszkicuj wykres tej funkcji dla R = 1.

2. Punkt P=( \frac{7}{2},- \frac{9}{2} ) jest środkiem boku kwadratu wpisanego w okrąg o równaniu x^2 + y^2 -6x+2y=15. Znajdź równania prostych zawierających przekątne tego kwadratu.

3. Z urny zawierającej n kul, w tym pięć białych, losujemy bez zwracania dwie kule. Dla jakiego n prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych jest większe od \frac{1}{3}?

4. Rozwiąż równanie: 1+ \frac{1}{x-5}+ \frac{1}{(x-5)^2}+...=x-5

5. Romb o kącie ostrym \alpha i boku a podzielono za pomocą dwóch odcinków poprowadzonych z wierzchołka kąta \alpha na trzy części o równych polach. Oblicz długości tych odcinków.

Matura z matematyki 1994:

1. Rozwiąż równanie \left[ \frac{1}{2} \right]^{log_{ \frac{1}{2} }^2(sinx)} + (sinx)^{log_{ \frac{1}{2}}sinx } =1

2. Rozwiąż nierówność
log_{ \frac{1}{2} } \left[sin \frac{x}{p} + sin^2 \frac{x}{p} +sin^3 \frac{x}{p} + ... \right] > 0, gdzie p jest prawdopodobieństwem wyrzucenia co najmniej dwa razy reszki w trzech rzutach symetryczną monetą.

Matura z matematyki 1997:

Wyznacz zbiory A,\ B,\ C,\ A \cap C \cap C, jeśli:
A=\{x:\ \frac{sinx}{(x-1) ^{2} }>|sinx|\ dla\ x \in (0;\ 2 \pi )\}
B=\{x:\ \frac{1}{2 ^{x}-1 } \ge \frac{1}{1-2 ^{x-1} } \}
C=\{x:\ log _{ \frac{1}{3}}\frac{1}{x}- \frac{1}{log _{ \frac{1}{3}}\frac{1}{x}} \le 2 \}