Matura z matematyki (maj 2018) poziom rozszerzony
rozwiązania zadań maturalnych
Zadanie 1. (0–1)
| Dane są liczby: \[ a=\frac{\sqrt[4]8}{2}\text{, } b=\frac{1}{2\sqrt[4]{8}}\text{, } c=\sqrt[4]{8}\text{, } d=\frac{2}{\sqrt[4]{8}} \text{ oraz } k=2^{-\frac{1}{4}} \] Prawdziwa jest równość: |
| A. | k = a | B. | k = b | C. | k = c | D. | k = d |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 2. (0–1)
| Równanie ||x|-2| = |x|+2 |
| A. | nie ma rozwiązań | B. | ma dokładnie 1 rozwiązanie | C. | ma dokładnie 2 rozwiązania | D. | ma dokładnie 4 rozwiązania |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 3. (0–1)
| Wartość wyrażenia \[ 2log_5{10}-\frac{1}{log_{20}{5}} \] jest równa: |
| A. | -1 | B. | 0 | C. | 1 | D. | 2 |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 4. (0–1)
| Granica \[ \lim_{x \to 3^-}\frac{-x+2}{x^2-5x+6} \] jest równa: |
| A. | -∞ | B. | -1 | C. | 0 | D. | +∞ |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 5. (0–2)
Punkt A=(-5; 3) jest środkiem symetrii wykresu funkcji homograficznej określonej wzorem
\[ f(x)=\frac{ax+7}{x+d} \]
gdy x ≠ -d.
Oblicz iloraz d/a. W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinki nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Odpowiedź: \[ \frac{d}{a}= 1,666... \] 1 6 6
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 6. (0–3)
Styczna do paraboli o równaniu \[ y=\sqrt{3}x^2 - 1 \] w punkcie P = (x0; y0) jest nachylona do osi Ox pod kątem 30°. Oblicz współrzędne punktu P.
Odpowiedź: \[ P = \left( \frac{1}{6}; \frac{\sqrt{3}}{36}-1 \right) \]
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 7. (0–3)
Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz |AC|>|BC|. Dwusieczna dC kąta ACB przecina bok AB w punkcie K. Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem dwusiecznej dA kąta BAC, punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej dC kąta ACB, a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej względem dwusiecznej dB kąta ABC (zobacz rysunek).
Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 8. (0–3)
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba k3m - km3 jest podzielna przez 6.
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 9. (0–4)
Z liczb ośmioelementowego zbioru Z = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9} tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 10. (0–4)
Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru gdzie r i R są promieniami podstaw (r < R), a H jest wysokością bryły. Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest równa 10, objętość 840π, a r = 6. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tej bryły do jednej z jej podstaw.
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 11. (0–4)
Rozwiąż równanie sin6x + cos3x = 2sin3x + 1 w przedziale <0; π>.
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 12. (0–6)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \[ x^2+(m+1)x-m^2+1=0 \] ma dwa rozwiązania rzeczywiste x1 i x2 (x1 ≠ x2), spełniające warunek \[ x^3_1 + x^3_2 > -7x_1x_2 \]
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 13. (0–4)
Wyznacz wyrazy ciągu geometrycznego (an), określonedo dla x ≥ 1, spełniają układ równań \[ \begin{cases} a_3+a_6=-84 \\[2ex] a_4+a_7=168 \end{cases} \] Wyznacz liczbę n poczatkowych wyrazów tego ciągu, których suma Sn jest równa 32769.
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 14. (0–6)
Punkt A=(7; -1) wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Obie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie x2+y2=10.
Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 15. (0–7)
Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy a i wysokości trapezu jest równa 2.
a) Wyznacz wszystkie wartości a, dla których istnieje trapez o podanych własnościach.
b) Wykaż, że obwód L takiego trapezu, jako funkcja długości a dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem \[ L(a)= \frac{4a^2-8a+8}{a} \]
c) Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.
