Matura próbna z matematyki (kwiecień 2020) poziom podstawowy
rozwiązania zadań maturalnych
Zadanie 1. (0–1)
| Niech a = -2, b = 3. Wartość wyrażenia ab - ba jest równa: |
| A. | \[ \frac{73}{9} \] | B. | \[ \frac{71}{9} \] | C. | \[ -\frac{73}{9} \] | D. | \[ -\frac{71}{9} \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 2. (0–1)
| Liczba 99 · 812 jest równa: |
| A. | 814 | B. | 81 | C. | 913 | D. | 936 |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 3. (0–1)
| Wartość wyrażenia log48 + 5 log42 jest równa: |
| A. | 2 | B. | 4 | C. | 2 + log45 | D. | 1 + log410 |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 4. (0–1)
| Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o 30%. Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła |
| A. | o mniej niż 50%, ale więcej niż 40% | B. | o mniej niż 60%, ale więcej niż 50% | C. | dokładnie o 60% | D. | o więcej niż 60% |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 5. (0–1)
| Liczba \[ (2\sqrt{7}-5)^2 \cdot (2\sqrt{7}+5)^2 \] jest równa: |
| A. | 9 | B. | 3 | C. | 2809 | D. | \[ 28 - 20 \sqrt{7} \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 6. (0–1)
| Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb x spełniających warunek 11 ≤ 2x-7 ≤ 15 |
A.  |
B.  |
C.  |
D.  |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 7. (0–1)
| Rozważmy treść następującego zadania: Obwód prostokąta o bokach długości a i b jest równy 60. Jeden z boków tego prostokąta jest o 10 dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta. Który ukłąd równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta? |
| A. | \[ \begin{cases} 2(a+b) = 60 \\[2ex] a + 10 = b \end{cases} \] | B. | \[ \begin{cases} 2a+b = 60 \\[2ex] 10b = a \end{cases} \] | C. | \[ \begin{cases} 2ab = 60 \\[2ex] a - b = 10 \end{cases} \] | D. | \[ \begin{cases} 2(a+b) = 60 \\[2ex] 10a = b \end{cases} \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 8. (0–1)
| Rozwiązaniem równania
\[ \frac{x+1}{x+2} = 3 \]
gdzie x ≠ -2 jest liczba należąca do przedziału: |
Zadanie 8. (0–1)
| Zbiorem wartości funkcji f jest przedział: |
| A. | (-2;1) | B. | ⟨1;+∞) | C. | (-$infin;l-5) | D. | ⟨-5;-2) |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 9. (0–1)
| Linę o długości 100 m etrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku 3:4:5. Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długość: |
| A. | \[ 41 \frac{2}{3} \text{ metra} \] | B. | \[ 31 \frac{1}{3} \text{ metra} \] | C. | \[ 60 \text{ metrów} \] | D. | \[ 25 \text{ metrów} \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 10. (0–1)
| Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem \[ f(x) = x^2 + bx + c \] Współczynniki b i c we wzorze funkcji f spełniają warunki: |
| A. | b < 0 i c > 0 | B. | b < 0 i c < 0 | C. | b > 0 i c > 0 | D. | b > 0 i c < 0 |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 11. (0–1)
| Dany jest ciąg arytmetyczny (an), określony dla n ≥ 1, w którym są dane: a1 = 2 i a2 = 9. Wtedy an = 79 dla: |
| A. | n = 10 | B. | n = 11 | C. | n = 12 | D. | n = 13 |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 12. (0–1)
| Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: (81; 3x; 4). Stąd wynika, że: |
| A. | \[ x=18 \] | B. | \[ x=6 \] | C. | \[ x=\frac{85}{6} \] | D. | \[ x=\frac{6}{85} \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 13. (0–1)
| Kąt α jest ostry i spełniona jest równość: \[ sin \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{49} \] Stąd wynika, że: |
| A. | \[ cos \alpha = \frac{24}{49} \] | B. | \[ cos \alpha = \frac{5}{7} \] | C. | \[ cos \alpha = \frac{25}{49} \] | D. | \[ cos \alpha = \frac{5\sqrt{6}}{7} \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 14. (0–1)
Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A, B i C (rysunek). Kąt ABC ma miarę 121°, a kąt BOC ma miarę 40° st. Kąt AOB ma miarę: |
| A. | \[ 59^\circ \] | B. | \[ 50^\circ \] | C. | \[ 81^\circ \] | D. | \[ 78^\circ \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 15. (0–1)
W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AC. Odcinek DE jest równoległy do boku AB, a ponadto |AE|=|DE|=4, |AB|=6 (rysunek) Odcinek CE ma długość: |
| A. | \[ \frac{16}{3} \] | B. | \[ \frac{8}{3} \] | C. | 8 | D. | 6 |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 16. (0–1)
| Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole powierzchni jest równe: \[ 6\sqrt{3} \] Bok tego trójkąta ma długość: |
| A. | \[ 3\sqrt{2} \] | B. | \[ 2\sqrt{3} \] | C. | \[ 2 \sqrt{6} \] | D. | \[ 6\sqrt{2} \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 17. (0–1)
| Punkty B=(-2;4) i C=(5;1) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe: |
| A. | 29 | B. | 40 | C. | 58 | D. | 74 |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 18. (0–1)
Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD Kąt nachylenia krawędzi bocznej SA ostrosłupa do płaszczyzny podstawy ABCD to: |
| A. | ∡SAO | B. | ∡SAB | C. | ∡SOA | D. | ∡ASB |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 19. (0–1)
| Graniastosłup ma 14 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa: |
| A. | 14 | B. | 21 | C. | 28 | D. | 26 |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 20. (0–1)
| Prosta k przechodzi przez punkt A=(4;-4) i jest prostopadła do osi Ox. Prosta k ma równanie: |
| A. | x - 4 = 0 | B. | x - y = 0 | C. | y + 4 = 0 | D. | x + y = 0 |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 21. (0–1)
Prosta l jest nachylona do osi Ox pod kątem 30° i przecina oś Oy w punkcie (0; -√3) l ma równanie: |
| A. | \[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3} \] | B. | \[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3} \] | C. | \[ y=\frac{1}{2}x-\sqrt{3} \] | D. | \[ y=\frac{1}{2}x+\sqrt{3} \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 22. (0–1)
| Dany jest stożek o wysokości 6 i tworzącej 3√5. Objętość tego stożka jest równa: |
| A. | 36π | B. | 18π | C. | 108π | D. | 54π |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 23. (0–1)
| Średnia artmetyczna zestawu ośmiu danych: x; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14 jest równa 9. Wtedy mediana tego zestawu sanych jest równa: |
| A. | 8 | B. | 9 | C. | 10 | D. | 16 |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 24. (0–1)
| Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż 2017? |
| A. | 2016 | B. | 2017 | C. | 1016 | D. | 1017 |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 25. (0–1)
| Z pudełka, w którym jest tylko 6 kul białych i n kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe 1/3. Liczba kul czarnych jest równa: |
| A. | n = 9 | B. | n = 2 | C. | n = 18 | D. | n = 12 |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 28. (0–2)
| Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność: 3a2 - 2ab + 3b2 ≥ 0 |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 29. (0–2)
Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.
|
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 30. (0–2)
| Ze zbioru liczb {1; 2; 3; 4; 5} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą. |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 31. (0–2)
W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30° (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu.
|
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 32. (0–4)
| Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Różnicą tego ciągu jest liczba r = -4, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a1, a2, a3, a4, a5, a6, jest równa 16. a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. b) Oblicz liczbę k, dla której ak = -78. |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 33. (0–4)
| Dany jest punkt A = (-18; 10). Prosta o równaniu y = 3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B. |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 34. (0–5)
Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α.
|
