Przejdź do głównej zawartości

Matura próbna z matematyki (kwiecień 2020) poziom podstawowy

rozwiązania zadań maturalnych


Zadanie 1. (0–1)

Niech a = -2, b = 3. Wartość wyrażenia ab - ba jest równa:

A. \[ \frac{73}{9} \]   B. \[ \frac{71}{9} \]   C. \[ -\frac{73}{9} \]   D. \[ -\frac{71}{9} \]

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:



Zadanie 3. (0–1)

Wartość wyrażenia log48 + 5 log42 jest równa:

A. 2   B. 4   C. 2 + log45   D. 1 + log410

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 4. (0–1)

Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o 30%. Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła

A. o mniej niż 50%, ale więcej niż 40%   B. o mniej niż 60%, ale więcej niż 50%   C. dokładnie o 60%   D. o więcej niż 60%

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 5. (0–1)

Liczba \[ (2\sqrt{7}-5)^2 \cdot (2\sqrt{7}+5)^2 \] jest równa:

A. 9   B. 3   C. 2809   D. \[ 28 - 20 \sqrt{7} \]

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 6. (0–1)

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb x spełniających warunek 11 ≤ 2x-7 ≤ 15

A. 
B. 
C. 
D. 

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 7. (0–1)

Rozważmy treść następującego zadania:
Obwód prostokąta o bokach długości a i b jest równy 60. Jeden z boków tego prostokąta jest o 10 dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta.
Który ukłąd równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?

A.  \[ \begin{cases} 2(a+b) = 60 \\[2ex] a + 10 = b \end{cases} \]   B.  \[ \begin{cases} 2a+b = 60 \\[2ex] 10b = a \end{cases} \]   C.  \[ \begin{cases} 2ab = 60 \\[2ex] a - b = 10 \end{cases} \]   D.  \[ \begin{cases} 2(a+b) = 60 \\[2ex] 10a = b \end{cases} \]

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 8. (0–1)

Rozwiązaniem równania \[ \frac{x+1}{x+2} = 3 \] gdzie x ≠ -2
jest liczba należąca do przedziału:

Zadanie 8. (0–1)

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział:

A. (-2;1)   B. ⟨1;+∞)   C. (-$infin;l-5)   D. ⟨-5;-2)

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 9. (0–1)

Linę o długości 100 m etrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku 3:4:5. Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długość:

A. \[ 41 \frac{2}{3} \text{ metra} \]   B. \[ 31 \frac{1}{3} \text{ metra} \]   C. \[ 60 \text{ metrów} \]   D. \[ 25 \text{ metrów} \]

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 10. (0–1)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem \[ f(x) = x^2 + bx + c \] Współczynniki b i c we wzorze funkcji f spełniają warunki:

A. b < 0 i c > 0   B. b < 0 i c < 0   C. b > 0 i c > 0   D. b > 0 i c < 0

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 11. (0–1)

Dany jest ciąg arytmetyczny (an), określony dla n ≥ 1, w którym są dane: a1 = 2 i a2 = 9. Wtedy an = 79 dla:

A. n = 10   B. n = 11   C. n = 12   D. n = 13

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 12. (0–1)

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: (81; 3x; 4). Stąd wynika, że:

A. \[ x=18 \]   B. \[ x=6 \]   C. \[ x=\frac{85}{6} \]   D. \[ x=\frac{6}{85} \]

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 13. (0–1)

Kąt α jest ostry i spełniona jest równość: \[ sin \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{49} \] Stąd wynika, że:

A. \[ cos \alpha = \frac{24}{49} \]   B. \[ cos \alpha = \frac{5}{7} \]   C. \[ cos \alpha = \frac{25}{49} \]   D. \[ cos \alpha = \frac{5\sqrt{6}}{7} \]

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 14. (0–1)

Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A, B i C (rysunek). Kąt ABC ma miarę 121°, a kąt BOC ma miarę 40° st.

Kąt AOB ma miarę:

A. \[ 59^\circ \]   B. \[ 50^\circ \]   C. \[ 81^\circ \]   D. \[ 78^\circ \]

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 15. (0–1)

W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AC. Odcinek DE jest równoległy do boku AB, a ponadto |AE|=|DE|=4, |AB|=6 (rysunek)

Odcinek CE ma długość:

A. \[ \frac{16}{3} \]   B. \[ \frac{8}{3} \]   C. 8   D. 6

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 16. (0–1)

Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole powierzchni jest równe: \[ 6\sqrt{3} \] Bok tego trójkąta ma długość:

A. \[ 3\sqrt{2} \]   B. \[ 2\sqrt{3} \]   C. \[ 2 \sqrt{6} \]   D. \[ 6\sqrt{2} \]

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 17. (0–1)

Punkty B=(-2;4) i C=(5;1) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe:

A. 29   B. 40   C. 58   D. 74

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 18. (0–1)

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD

Kąt nachylenia krawędzi bocznej SA ostrosłupa do płaszczyzny podstawy ABCD to:

A. ∡SAO   B. ∡SAB   C. ∡SOA   D. ∡ASB

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 19. (0–1)

Graniastosłup ma 14 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa:

A. 14   B. 21   C. 28   D. 26

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 20. (0–1)

Prosta k przechodzi przez punkt A=(4;-4) i jest prostopadła do osi Ox. Prosta k ma równanie:

A. x - 4 = 0   B. x - y = 0   C. y + 4 = 0   D. x + y = 0

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 21. (0–1)

Prosta l jest nachylona do osi Ox pod kątem 30° i przecina oś Oy w punkcie (0; -√3)

l ma równanie:

A. \[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3} \]   B. \[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3} \]   C. \[ y=\frac{1}{2}x-\sqrt{3} \]   D. \[ y=\frac{1}{2}x+\sqrt{3} \]

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 22. (0–1)

Dany jest stożek o wysokości 6 i tworzącej 3√5. Objętość tego stożka jest równa:

A. 36π   B. 18π   C. 108π   D. 54π

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 23. (0–1)

Średnia artmetyczna zestawu ośmiu danych: x; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14 jest równa 9. Wtedy mediana tego zestawu sanych jest równa:

A. 8   B. 9   C. 10   D. 16

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 24. (0–1)

Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż 2017?

A. 2016   B. 2017   C. 1016   D. 1017

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 25. (0–1)

Z pudełka, w którym jest tylko 6 kul białych i n kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe 1/3. Liczba kul czarnych jest równa:

A. n = 9   B. n = 2   C. n = 18   D. n = 12

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:




Zadanie 28. (0–2)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność: 3a2 - 2ab + 3b2 ≥ 0

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 29. (0–2)

Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 30. (0–2)

Ze zbioru liczb {1; 2; 3; 4; 5} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 31. (0–2)

W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30° (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu.

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 32. (0–4)

Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Różnicą tego ciągu jest liczba r = -4, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a1, a2, a3, a4, a5, a6, jest równa 16.
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę k, dla której ak = -78.

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 33. (0–4)

Dany jest punkt A = (-18; 10). Prosta o równaniu y = 3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B.

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 34. (0–5)

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α.

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zobacz arkusze maturalne i ich rozwiązania (z matur z poprzednich lat)...