Przejdź do głównej zawartości

Matura z matematyki (maj 2019) poziom podstawowy

rozwiązania zadań maturalnych


Zadanie 1. (0–1)

Liczba \[ log_{\sqrt{3}}2 \] jest równa

A. 2   B. 4   C. \[ \sqrt{2} \]   D. \[ \frac{1}{2} \]

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 2. (0–1)

Liczba naturalna \[ n=2^{14} \cdot 5^{15} \] w zapisie dziesiętnym ma

A. 14 cyfr   B. 15 cyfr   C. 16 cyfr   D. 30 cyfr

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 3. (0–1)

W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o:

A. 1%   B. 25%   C. 33%   D. 75%

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 4. (0–1)

Równość \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{a} = 1 \] jest prawdziwa dla:

A. \[ a = \frac{11}{20} \]   B. \[ a = \frac{8}{9} \]   C. \[ a = \frac{9}{8} \]   D. \[ a = \frac{20}{11} \]

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 5. (0–1)

Para liczb x=2 i y=2 jest rozwiązaniem układu równań \[ \begin{cases} ax+y=4 \\[2ex] -2x+3y=2a \end{cases} \] dla:

A. \[ a = -1 \]   B. \[ a = 1 \]   C. \[ a = -2 \]   D. \[ a = 2 \]

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 6. (0–1)

Równanie \[ \frac{(x-1)(x+2)}{x-3} = 0 \] dla:

A. ma trzy różne rozwiązania: x=1, x=3, x=-2   B. ma trzy różne rozwiązania: x=-1, x=-3, x=2   C. ma dwa różne rozwiązania: x=1, x=-2   D. ma dwa różne rozwiązania: x=-1, x=2

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 7. (0–1)

Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem \[ f(x)=3(x+1)-6 \sqrt{3} \] jest liczba:

A. \[ 3-6\sqrt{3} \]   B. \[ 1-6\sqrt{3} \]   C. \[ 2\sqrt{3}-1 \]   D. \[ 2\sqrt{3}-\frac{1}{3} \]

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Informacja do zadań 8, 9, 10

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2; -4). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.

Zadanie 8. (0–1)

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział:

A. \[ (-\infty; 0) \]   B. \[ <0; 4> \]   C. \[ <-4; +\infty) \]   D. \[ <4; +\infty) \]

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 9. (0–1)

Największa wartość funkcji f w przedziale <1; 4> jest równa:

A. -3   B. -4   C. 4   D. 0

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 10. (0–1)

Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu:

A. y = -4   B. x = -4   C. y = 2   D. x = 2

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 11. (0–1)

W ciągu arytmetycznym, określonym dla n ≥ 1, dane są dwa wyrazy: a1 = 7 i a8 = −49. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:

A. -168   B. -189   C. -21   D. -42

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 12. (0–1)

Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n ≥ 1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek: \[ \frac{a_5}{a_3} = \frac{1}{9} \] Iloraz tego ciągu jest równy:

A. \[ \frac{1}{3} \]   B. \[ \frac{1}{\sqrt{3}} \]   C. \[ 3 \]   D. \[ \sqrt{3} \]

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 13. (0–1)

Jeśli \[ sin \alpha = \frac{4}{5} \] Wtedy:

A. \[ cos \alpha = \frac{5}{4} \]   B. \[ cos \alpha = \frac{1}{5} \]   C. \[ cos \alpha = \frac{9}{25} \]   D. \[ cos \alpha = \frac{3}{5} \]

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 14. (0–1)

Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek). Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę α

A. \[ \alpha = 30^\circ \]   B. \[ \alpha < 30^\circ \]   C. \[ \alpha > 45^\circ \]   D. \[ \alpha = 45^\circ \]

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 15. (0–1)

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach A i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek).

A. |OK| = 6   B. |OK| = 8   C. |OK| = 10   D. |OK| = 12

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 16. (0–1)

Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe:

A. \[ 8 \]   B. \[ 12 \]   C. \[ 8 \sqrt{3} \]   D. 16

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 17. (0–1)

Proste o równaniach \[ y = (2m+2)x - 2019 \] \[ y = (3m-3)x + 2019 \] są równoległe, gdy:

A. m = -1   B. m = 0   C. m = 1   D. m = 5

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 18. (0–1)

Prosta o równaniu \[ y = ax + b \] jest prostopadła do prostej o równaniu \[ y = -4x+1 \] i przechodzi przez punkt \[ P = \left( \frac{1}{2}; 0 \right) \] gdy:

A. \[ a = -4 \text{ i } b=-2 \]   B. \[ a = \frac{1}{4} \text{ i } b=-\frac{1}{8} \]   C. \[ a = -4 \text{ i } b=2 \]   D. \[ a = \frac{1}{4} \text{ i } b=\frac{1}{8} \]

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 19. (0–1)

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji leżą punkty A = (0; 4) i B = (2; 2).

Obrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji g określonej wzorem

A. g(x) = x + 4   B. g(x) = x - 4   C. g(x) = -x - 4   D. g(x) = -x + 4

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 20. (0–1)

Dane są punkty o współrzędnych A = (-2; 5) oraz B = (4; -1). Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB jest równa:

A. 12   B. 6   C. \[ 6\sqrt{2} \]   D. \[ 2\sqrt{6} \]

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 21. (0–1)

Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 5 dm × 3 dm × 2 dm (zobacz rysunek). Przekątna KL tego prostopadłościanu jest – z dokładnością do 0,01 dm – równa

A. 5,83 dm   B. 6,16 dm   C. 3,61 dm   D. 5,39 dm

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 22. (0–1)

Promień kuli i promień podstawy stożka są równe 4. Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa

A. 8   B. 4   C. 16   D. 12

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 23. (0–1)

Mediana zestawu sześciu danych liczb: 4, 8, 21, a, 16, 25, jest równa 14. Zatem:

A. a = 7   B. a = 12   C. a = 14   D. a = 20

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 24. (0–1)

Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest:

A. 12   B. 36   C. 162   D. 243

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 25. (0–1)

W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe:

A. \[ \frac{1}{8} \]   B. \[ \frac{1}{5} \]   C. \[ \frac{1}{40} \]   D. \[ \frac{1}{35} \]

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:




Zadanie 28. (0–2)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność: 3a2 - 2ab + 3b2 ≥ 0

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 29. (0–2)

Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 30. (0–2)

Ze zbioru liczb {1; 2; 3; 4; 5} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 31. (0–2)

W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30° (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu.

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 32. (0–4)

Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Różnicą tego ciągu jest liczba r = -4, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a1, a2, a3, a4, a5, a6, jest równa 16.
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę k, dla której ak = -78.

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 33. (0–4)

Dany jest punkt A = (-18; 10). Prosta o równaniu y = 3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B.

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zadanie 34. (0–5)

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α.

Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:


Zobacz arkusze maturalne i ich rozwiązania (z matur z poprzednich lat)...