Liczba \[ log_{\sqrt{3}}2 \] jest równa |
A. | 2 | B. | 4 | C. | \[ \sqrt{2} \] | D. | \[ \frac{1}{2} \] |
Liczba naturalna \[ n=2^{14} \cdot 5^{15} \] w zapisie dziesiętnym ma |
A. | 14 cyfr | B. | 15 cyfr | C. | 16 cyfr | D. | 30 cyfr |
W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o: |
A. | 1% | B. | 25% | C. | 33% | D. | 75% |
Równość \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{a} = 1 \] jest prawdziwa dla: |
A. | \[ a = \frac{11}{20} \] | B. | \[ a = \frac{8}{9} \] | C. | \[ a = \frac{9}{8} \] | D. | \[ a = \frac{20}{11} \] |
Para liczb x=2 i y=2 jest rozwiązaniem układu równań \[ \begin{cases} ax+y=4 \\[2ex] -2x+3y=2a \end{cases} \] dla: |
A. | \[ a = -1 \] | B. | \[ a = 1 \] | C. | \[ a = -2 \] | D. | \[ a = 2 \] |
Równanie \[ \frac{(x-1)(x+2)}{x-3} = 0 \] dla: |
A. | ma trzy różne rozwiązania: x=1, x=3, x=-2 | B. | ma trzy różne rozwiązania: x=-1, x=-3, x=2 | C. | ma dwa różne rozwiązania: x=1, x=-2 | D. | ma dwa różne rozwiązania: x=-1, x=2 |
Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem \[ f(x)=3(x+1)-6 \sqrt{3} \] jest liczba: |
A. | \[ 3-6\sqrt{3} \] | B. | \[ 1-6\sqrt{3} \] | C. | \[ 2\sqrt{3}-1 \] | D. | \[ 2\sqrt{3}-\frac{1}{3} \] |
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2; -4). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.![]() |
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział: |
A. | \[ (-\infty; 0) \] | B. | \[ <0; 4> \] | C. | \[ <-4; +\infty) \] | D. | \[ <4; +\infty) \] |
Największa wartość funkcji f w przedziale <1; 4> jest równa: |
A. | -3 | B. | -4 | C. | 4 | D. | 0 |
Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu: |
A. | y = -4 | B. | x = -4 | C. | y = 2 | D. | x = 2 |
W ciągu arytmetycznym, określonym dla n ≥ 1, dane są dwa wyrazy: a1 = 7 i a8 = −49. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa: |
A. | -168 | B. | -189 | C. | -21 | D. | -42 |
Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n ≥ 1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek: \[ \frac{a_5}{a_3} = \frac{1}{9} \] Iloraz tego ciągu jest równy: |
A. | \[ \frac{1}{3} \] | B. | \[ \frac{1}{\sqrt{3}} \] | C. | \[ 3 \] | D. | \[ \sqrt{3} \] |
Jeśli \[ sin \alpha = \frac{4}{5} \] Wtedy: |
A. | \[ cos \alpha = \frac{5}{4} \] | B. | \[ cos \alpha = \frac{1}{5} \] | C. | \[ cos \alpha = \frac{9}{25} \] | D. | \[ cos \alpha = \frac{3}{5} \] |
Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek). Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę α![]() |
A. | \[ \alpha = 30^\circ \] | B. | \[ \alpha < 30^\circ \] | C. | \[ \alpha > 45^\circ \] | D. | \[ \alpha = 45^\circ \] |
Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach A i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek).![]() |
A. | |OK| = 6 | B. | |OK| = 8 | C. | |OK| = 10 | D. | |OK| = 12 |
Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe: |
A. | \[ 8 \] | B. | \[ 12 \] | C. | \[ 8 \sqrt{3} \] | D. | 16 |
Proste o równaniach \[ y = (2m+2)x - 2019 \] \[ y = (3m-3)x + 2019 \] są równoległe, gdy: |
A. | m = -1 | B. | m = 0 | C. | m = 1 | D. | m = 5 |
Prosta o równaniu \[ y = ax + b \] jest prostopadła do prostej o równaniu \[ y = -4x+1 \] i przechodzi przez punkt \[ P = \left( \frac{1}{2}; 0 \right) \] gdy: |
A. | \[ a = -4 \text{ i } b=-2 \] | B. | \[ a = \frac{1}{4} \text{ i } b=-\frac{1}{8} \] | C. | \[ a = -4 \text{ i } b=2 \] | D. | \[ a = \frac{1}{4} \text{ i } b=\frac{1}{8} \] |
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji leżą punkty A = (0; 4) i B = (2; 2).![]() Obrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji g określonej wzorem |
A. | g(x) = x + 4 | B. | g(x) = x - 4 | C. | g(x) = -x - 4 | D. | g(x) = -x + 4 |
Dane są punkty o współrzędnych A = (-2; 5) oraz B = (4; -1). Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB jest równa: |
A. | 12 | B. | 6 | C. | \[ 6\sqrt{2} \] | D. | \[ 2\sqrt{6} \] |
Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 5 dm × 3 dm × 2 dm (zobacz rysunek). Przekątna KL tego prostopadłościanu jest – z dokładnością do 0,01 dm – równa![]() |
A. | 5,83 dm | B. | 6,16 dm | C. | 3,61 dm | D. | 5,39 dm |
Promień kuli i promień podstawy stożka są równe 4. Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa |
A. | 8 | B. | 4 | C. | 16 | D. | 12 |
Mediana zestawu sześciu danych liczb: 4, 8, 21, a, 16, 25, jest równa 14. Zatem: |
A. | a = 7 | B. | a = 12 | C. | a = 14 | D. | a = 20 |
Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest: |
A. | 12 | B. | 36 | C. | 162 | D. | 243 |
W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe: |
A. | \[ \frac{1}{8} \] | B. | \[ \frac{1}{5} \] | C. | \[ \frac{1}{40} \] | D. | \[ \frac{1}{35} \] |
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność: 3a2 - 2ab + 3b2 ≥ 0 |
Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.![]() |
Ze zbioru liczb {1; 2; 3; 4; 5} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą. |
W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30° (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu.![]() |
Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Różnicą tego ciągu jest liczba r = -4, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a1, a2, a3, a4, a5, a6, jest równa 16. a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. b) Oblicz liczbę k, dla której ak = -78. |
Dany jest punkt A = (-18; 10). Prosta o równaniu y = 3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B. |
Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α.![]() |