Matura z matematyki (maj 2018) poziom podstawowy
rozwiązania zadań maturalnych
Zadanie 1. (0–1)
| Liczba | \[ 2 log_{3}6-log_{3}4 \] | jest równa |
| A. | 4 | B. | 2 | C. | \[ 2 log_{3}2 \] | D. | \[ 2 log_{3}8 \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 2. (0–1)
| Liczba | \[ \sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot \sqrt[3]{\frac{81}{56}} \] | jest równa |
| A. | \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \] | B. | \[ \frac{3}{2 \sqrt[3]{21}} \] | C. | \[ \frac{3}{2} \] | D. | \[ \frac{9}{4} \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 3. (0–1)
| Dane są liczby a=3,6·10-12 oraz b=2,4·10-20. Wtedy iloraz a/b jest równy |
| A. | \[ 8,64\cdot 10^{-32} \] | B. | \[ 1,5\cdot 10^{-8} \] | C. | \[ 1,5\cdot 10^{8} \] | D. | \[ 8,64\cdot 10^{32} \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 4. (0–1)
| Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował |
| A. | 865,00 zł | B. | 850,15 zł | C. | 1000 zł | D. | 977,50 zł |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 5. (0–1)
| Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności | \[ \frac{1-2x}{2} > {\frac{1}{3}} \] | jest przedział |
| A. | \[ \left ( -\infty ,\frac{1}{6} \right ) \] | B. | \[ \left ( -\infty ,\frac{2}{3} \right ) \] | C. | \[ \left ( \frac{1}{6},+\infty \right ) \] | D. | \[ \left ( \frac{2}{3},+\infty \right ) \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 6. (0–1)
| Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x) = -2(x+3)(x-5). Liczby x1, x2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem |
| A. | \[ x_{1} + x_{2} = -8 \] | B. | \[ x_{1} + x_{2} = -2 \] | C. | \[ x_{1} + x_{2} = 2 \] | D. | \[ x_{1} + x_{2} = 8 \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 7. (0–1)
| Równanie | \[ \frac{x^{2}+2x}{x^{2}-4}=0 \] |
| A. | ma trzy rozwiązania: x = -2; x = 0; x = 2 |
| B. | ma dwa rozwiązania: x = 0; x = 2 |
| C. | ma dwa rozwiązania: x = -2; x = 2 |
| D. | ma jedno rozwiązanie: x = 0 |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 8. (0–1)
| Funkcja liniowa f określona jest wzorem (poniżej), dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe. \[ f(x) = \frac{1}{3}x-1 \] |
| A. | Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie | \[ P=\left ( 0, \frac{1}{3} \right ) \] |
| B. | Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie | \[ P=\left ( 0, -1 \right ) \] |
| C. | Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie | \[ P=\left ( 0, \frac{1}{3} \right ) \] |
| D. | Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie | \[ P=\left ( 0, -1 \right ) \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 9. (0–1)
| Wykresem funkcji kwadratowej f(x) = x2-6x-3 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych |
| A. | (-6; -3) | B. | (-6; 69) | C. | (3; -12) | D. | (6; -3) |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 10. (0–1)
| Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = ax+b, a punkt M = (3; -2) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy |
| A. | 1 | B. | \[ \frac{3}{2} \] | C. | \[ -\frac{3}{2} \] | D. | -1 |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 11. (0–1)
| Dany jest ciąg (an) określony wzorem | \[ a_{n} = \frac{5-2n}{6} \] | dla n ≥ 1. Ciąg ten jest |
| A. | arytmetyczny i jego różnica jest równa | \[ r = -\frac{1}{3} \] |
| B. | arytmetyczny i jego różnica jest równa | \[ r = -2 \] |
| C. | geometryczny i jego różnica jest równy | \[ q = -\frac{1}{3} \] |
| D. | geometryczny i jego różnica jest równy | \[ q = \frac{5}{6} \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 12. (0–1)
| Dla ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n ≥ 1, jest spełniony warunek a4+a5+a6 = 12. Wtedy |
| A. | a5 = 4 | B. | a5 = 3 | C. | a5 = 6 | D. | a5 = 5 |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 13. (0–1)
| Dany jest ciąg geometryczny (an), określonego dla n ≥ 1, w którym a1 = √ 2, a2 = 2√ 2, a3 = 4√ 2. Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać: |
| A. | \[ a_{n} = (\sqrt{2})^{n} \] | B. | \[ a_{n} = \frac{2^{n}}{\sqrt{2}} \] | C. | \[ a_{n} = \left ( {\frac{\sqrt{2}}{2}} \right ) ^n \] | D. | \[ a_{n} = \frac{\left ( \sqrt{2} \right ) ^{n}}{2} \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 14. (0–1)
Przyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma długość 8 (zobacz rysunek). Wtedy miara α kąta ostrego LKM tego trójkąta spełnia warunek
|
| A. | 27° < α ≤ 30° | B. | 24° < α ≤ 27° | C. | 21° < α ≤ 24° | D. | 18° < α ≤ 21° |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 15. (0–1)
| Dany jest trójkąt o bokach długości: (2 √ 5), (3 √ 5), (4 √ 5). Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości |
| A. | 10, 15, 20 | B. | 20, 45, 80 | C. | \[ \sqrt{2} \textrm{, } \sqrt{3} \textrm{, } \sqrt{4} \] | D. | \[ \sqrt{5} \textrm{, } 2\sqrt{5} \textrm{, } 3\sqrt{5} \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 16. (0–1)
Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α + β = 111°. Wynika stąd, że: |
| A. | α = 74° | B. | α = 76° | C. | α = 70° | D. | α = 72° |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 17. (0–1)
Dany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości |KL| = a, |MN| = b, a > b. Kąt KLM ma miarę 60°. Długość ramienia LM tego trapezu jest równa
|
| A. | a-b | B. | 2(a-b) | C. | \[ a+\frac{1}{2}b \] | D. | \[ \frac{a+b}{2} \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 18. (0–1)
| Punkt K = (2; 2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM, w którym |KM|=|LM|. Odcinek MN jest wysokością trójkąta i N = (4; 3). Zatem |
| A. | L=(5; 3) | B. | L=(6; 4) | C. | L=(3; 5) | D. | L=(4; 6) |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 19. (0–1)
| Proste o równaniach y = (m+2)x+3 oraz y = (2m-1)x-3 są równoległe, gdy |
| A. | m=2 | B. | m=3 | C. | m=0 | D. | m=1 |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 20. (0–1)
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek). Kąt α, jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek:
|
| A. | α = 45° | B. | 45°< α < 60° | C. | α > 60° | D. | α = 60° |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 21. (0–1)
Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α, jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 45° (zobacz rysunek). Wysokość graniastosłupa jest równa:
|
| A. | 5 | B. | \[ 3\sqrt{2} \] | C. | \[ 5\sqrt{2} \] | D. | \[ \frac{5\sqrt{3}}{3} \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 22. (0–1)
Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca. Objętość tej bryły jest równa:
|
| A. | \[ \frac{5}{3}πr^{3} \] | B. | \[ \frac{4}{3}πr^{3} \] | C. | \[ \frac{2}{3}πr^{3} \] | D. | \[ \frac{1}{3}πr^{3} \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 23. (0–1)
| W zestawie 2; 2; 2;...; 2 (m liczb) ; 4; 4; 4;...; 4 (m liczb) jest 2m liczb (m ≥ 1), w tym m liczb 2 i m liczb 4. Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe. |
| A. | 2 | B. | 1 | C. | \[ \frac{1}{\sqrt{2}} \] | D. | \[ \sqrt{2} \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 24. (0–1)
| Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5? |
| A. | 402 | B. | 403 | C. | 203 | D. | 204 |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 25. (0–1)
| W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe |
| A. | \[ \frac{15}{35} \] | B. | \[ \frac{1}{50} \] | C. | \[ \frac{15}{50} \] | D. | \[ \frac{35}{50} \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 26. (0–2)
| Rozwiąż nierówność 2x2 - 3x > 5 |
| Odpowiedź: x ∈ (-∞; -1) ∪ (2,5; + ∞) |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 27. (0–2)
| Rozwiąż równanie (x3+125)(x3-64)=0 |
| Odpowiedź: x ∈ {-8; -5; 8} |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 28. (0–2)
| Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność: \[ \frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} \geq \frac{2}{a+b} \] |
| Odpowiedź: kwadrat rónicy dowolnych liczb jest nieujemny |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 29. (0–2)
Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2. Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od:
\[ \sqrt{2}-1 \]
|
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 30. (0–2)
| Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x) = ax (gdzie a > 0 i a ≠ 1), należy punkt P = (2; 9). Oblicz a i zapisz zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem g(x) = −2. |
| Odpowiedź: a = 3, Zwg = (-2; +∞) |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 31. (0–2)
| Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n ≥ 1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. |
| Odpowiedź: a1 = -3 |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 32. (0–5)
| W układzie współrzędnych punkty A = (4; 3) i B = (10; 5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = 2x+3. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty. |
| Odpowiedź: C = (6,4; 15,8) |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 33. (0–4)
| Dane są dwa zbiory: A = {100; 200; 300; 400; 500; 600; 700} i B = {10; 11; 12; 13; 14; 15; 16}. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego. |
| Odpowiedź: | \[ P(A) = \frac{16}{49} \] |
Uczniowie e-math.pl rozwiązują to tak:
Zadanie 34. (0–4)
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe (45√3). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa. 
|
| Odpowiedź: V = 40,5 |
